Inégalité de Cauchy-Schwarz - Inégalité de Schwarz
Théorème
Cas général
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
Pour tout \(x,y\) d'un espace vectoriel \(E\) muni d'un produit scalaire, on a : $$\lvert\langle x|y\rangle\rvert\leqslant\lVert x\rVert\lVert y\rVert$$
(Produit scalaire, Norme)
Inégalité de Cauchy-Schwarz (dans un espace vectoriel) :
\(x,y\in E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire
Inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace de Hilbert : $$\lvert\langle{f,g}\rangle \rvert\leqslant\lVert f\rVert\lVert g\rVert$$
(Théorème de Pythagore)
Inégalité de Cauchy-Schwarz :
Si \(X\) et \(Y\) sont deux v.a. Ayant un moment d'ordre \(2\), alors $${{\lvert E(XY)\rvert}}\leqslant {{E(\lvert XY\rvert)}}\leqslant{{\sqrt{E(X^2)E(Y^2)} }}$$
Inégalité de Cauchy-Schwarz (avec des variables aléatoires) :
\(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires possédant un moment d'ordre \(2\)
On a \({{\langle x|y\rangle}}={{\lVert x\rVert\lVert y\rVert}}\) si et seulement si \(x\) et \(y\) sont colinéaires
(Vecteurs colinéaires - Colinéarité)
Propriétés du produit scalaire :